임의의 양의 정수 $a$와 $b$에 대하여 $(36a+b)(a+36b)$는 $2$의 거듭제곱으로 나타낼 수 없음을 보여라.
경시대회 모음 : 아시아태평양수학올림피아드(APMO)
1998 아시아태평양수학올림피아드 3번문제
양수 $a$, $b$, $c$에 대하여 다음 부등식을 증명하여라.\[ \left( 1+\frac{a}{b}\right) \left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\ge 2\left(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\right)\]
1998 아시아태평양수학올림피아드 4번문제
$\triangle ABC$에서 $D$는 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발이다. 점 $D$를 지나는 한 직선위에 $D$가 아닌 두 점 $E$, $F$를 잡아 $AE\perp BE$, $AB\perp CF$ 되게 한다. $M$, $N$이 각각 선분 $BC$, $EF$의 중점일 때, $AN\perp NM$임을 보여라.
1998 아시아태평양수학올림피아드 5번문제
자연수 $n$은 $\sqrt[3]{n}$보다 작은 모든 자연수로 나누어 떨어진다. 이러한 자연수 $n$ 중 가장 큰 수를 구하여라.
1999 아시아태평양수학올림피아드 1번문제
다음 성질을 만족하는 최소의 자연수 $n$을 구하여라: 1999개의 실수항으로 이루어진 등차수열로서 꼭 $n$개의 정수항을 갖는 수열은 존재하지 않는다.
1999 아시아태평양수학올림피아드 2번문제
실수항으로 이루어진 수열 $a_1$, $a_2$, $\ldots$은 모든 자연수 $i$, $j$에 대하여 $a_{i+j}\le a_i+a_j$를 만족한다. 다음 부등식이 모든 자연수 $n$에 대해 성립함을 보여라.\[ a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+\cdots+\frac{a_n}{n}\ge a_n\]