두 원 $\Gamma_1$과 $\Gamma_2$가 두 점 $P$와 $Q$에서 교차한다. $P$와 가까운 쪽에서 이 두 원의 공통접선을 그을 때 이 접선이 두 원 $\Gamma_1$, $\Gamma_2$와 각각 점 $A$, $B$에서 접한다. $P$에서의 $\Gamma_1$의 접선이 $\Gamma_2$와 점 $C$에서 만난다. ($C$는 $P$와 같지 않다.) $AP$의 연장선과 $BC$의 교점을 $R$이라 하자. 삼각형 $PQR$의 외접원이 $BP$와 $BR$에 모두 접함을 보여라.

$a^2+4b$와 $b^2+4a$가 모두 완전제곱수가 되는 정수 쌍 $(a,b)$를 모두 구하여라.

자연수 $i$에 대하여 $x_i=\frac{i}{101}$일 때 다음의 합 $S$를 구하여라. \[ S=\sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3}{1-3x_i+3x_i^2}\]

9개의 원이 그림과 같이 삼각형 모양으로 배열되어 있다.

숫자 $1$, $2$, $\ldots$, $9$를 이들 원에, 다음과 같은 조건을 만족하되 중복되지 않도록 써 넣는다고 하자.

(i) 삼각형의 각 변의 4개의 숫자의 합은 모두 같다.

(ii) 삼각형의 각 변의 4개의 숫자의 제곱의 합은 모두 같다.

이 때, 가능한 모든 방법을 찾아라.

삼각형 $ABC$가 주어져 있다. 변 $BC$의 중점을 $M$, 꼭지점 $A$에서 그은 각의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $N$이라 하자. $N$을 지나고 직선 $NA$와 수직인 직선이 직선 $MA$, $BA$와 만나는 점을 각각 $Q$, $P$라 하고, $P$를 지나고 직선 $BA$에 수직인 직선이 직선 $AN$과 만나는 점을 $O$라 할 때, 직선 $QO$와 $BC$가 수직임을 보여라.