제26회 아시아태평양수학올림피아드. 2014년 3월 11일 화요일 오전9시-오후1시. 각 문제당 7점, 총 5문제.
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양의 정수 $m$에 대해 $m$을 썼을 때 각 자리수의 합을 $S(m)$, 각 자리수의 곱을 $P(m)$이라 하자. 임의의 양의 정수 $n$에 대하여 다음 조건을 만족하는 양의 정수의 수열 $a_1,a_2,\ldots,a_n$이 존재함을 증명하라.
\[ S(a_1)\lt S(a_2)\lt \cdots\lt S(a_n)\text{이고 }S(a_i)=P(a_{i+1})\text{이다. } (i=1,2,\ldots,n)\]
($a_{n+1}=a_1$으로 가정한다.)
집합 $S=\{1,2,\ldots,2014\}$의 모든 공집합 아닌 부분집합 $T$에 대해, 그 원소 중 하나를 뽑아 대표값으로 정하려고 한다. 어떤 $S$의 부분집합 $D$가 공집합 아닌 서로 소인 세 집합 $A$, $B$, $C$의 합집합인 경우 $S$의 대표값이 $A$, $B$, $C$ 중 적어도 하나의 대표값이 되도록 모든 공집합 아닌 부분집합에서 대표값을 정하는 방법의 수를 구하여라.
임의의 정수 $k$에 대해 $a^3+a-k$가 $n$의 배수가 되는 정수 $a$가 존재하게 되는 양의 정수 $n$을 모두 구하여라.
양의 정수 $n$, $b$가 있다. 만일 $n$개의 서로 다른 $b$보다 작은 양의 정수로 구성된 어떤 집합이 존재하여 각각의 부분집합의 원소의 합이 다 서로 다르다고 할 때 $n$을 $b$-식별한다고 하자.
(a) $8$은 $100$-식별한다는 것을 증명하라.
(b) $9$는 $100$-식별하지 않음을 증명하라.
두 원 $\omega$와 $\Omega$가 두 점 $A$, $B$에서 만난다. 원 $\Omega$내의 점 $M$은 원 $\omega$의 호 $AB$의 중점이다. 원 $\omega$의 현 $MP$가 $\Omega$와 점 $Q$에서 만난다고 하자. 단 $Q$는 $\omega$ 안에 있다. 점 $P$를 지나는 원 $\omega$의 접선을 $\ell_P$라 하고, 점 $Q$를 지나는 원 $\Omega$의 접선을 $\ell_Q$라 하자. 이때 세 직선 $\ell_P$, $\ell_Q$, $AB$로 만들어진 삼각형의 외접원이 $\Omega$에 접한다는 것을 증명하라.