양의 정수 $m$에 대해 $m$을 썼을 때 각 자리수의 합을 $S(m)$, 각 자리수의 곱을 $P(m)$이라 하자. 임의의 양의 정수 $n$에 대하여 다음 조건을 만족하는 양의 정수의 수열 $a_1,a_2,\ldots,a_n$이 존재함을 증명하라.
\[ S(a_1)\lt S(a_2)\lt \cdots\lt S(a_n)\text{이고 }S(a_i)=P(a_{i+1})\text{이다. } (i=1,2,\ldots,n)\]
($a_{n+1}=a_1$으로 가정한다.)