2017 국제수학올림피아드

제58회 국제수학올림피아드 (2017년 7월 18일~19일)

브라질 리우데자네이루.

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정수 $a_0>1$에 대하여, 수열 $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots$을 다음과 같이 정의한다.

모든 $n\ge0$에 대하여 \[ a_{n+1}=\begin{cases}\sqrt{a_n},&\sqrt{a_n}\text{이 정수인 경우}\\ a_n+3,&\text{그 외의 경우}\end{cases}\]

무한히 많은 $n$의 값에 대하여 $a_n=A$가 되는 수 $A$가 존재하도록 하는 $a_0$의 값을 모두 구하여라.

$\mathbb R$은 실수 전체의 집합이다. 다음 조건을 만족하는 함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$을 모두 구하여라.

임의의 실수 $x$, $y$에 대하여, \[ f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy)\]

한 사냥꾼과 보이지 않는 토끼 한 마리가 평면 상에서 다음과 같은 게임을 한다. 토끼의 출발점 $A_0$와 사냥꾼의 출발점 $B_0$는 일치한다. 게임의 $n-1$번째 라운드를 마친 후 토끼가 위치한 점을 $A_{n-1}$, 사냥꾼이 위치한 점을 $B_{n-1}$이라 하자. $n$번째 라운드에서 다음과 같은 세 가지가 순차적으로 발생한다.

(i) 토끼가 보이지 않게 점 $A_n$으로 움직이고, $A_{n-1}$과 $A_n$의 거리는 정확히 $1$이다.

(ii) 사냥꾼의 추적기가 점 $P_n$의 위치를 알려준다. 이 추적기가 알려주는 점 $P_n$과 $A_n$의 거리는 $1$ 이하임이 보장될 뿐이다.

(iii) 사냥꾼은 눈에 띄게 점 $B_n$으로 움직이고, $B_{n-1}$과 $B_n$의 거리는 정확히 $1$이다.

토끼가 어떻게 움직이든, 추적기가 어떤 점을 알려주든 상관없이 항상 사냥꾼이 $10^9$ 라운드 후에 그와 토끼의 거리가 $100$ 이하가 되도록 할 수가 있겠는가?

원 $\Omega$ 위에 두 점 $R$, $S$를 $RS$가 지름이 되지 않도록 잡자. 점 $R$에서의 $\Omega$의 접선을 $\ell$이라 하자. 점 $T$를 점 $S$가 선분 $RT$의 중점이 되도록 하는 점이라 하자. 점 $J$는 원 $\Omega$의 호 $\overparen{RS}$ 중 작은 호 위에 있고, 삼각형 $JST$의 외접원 $\Gamma$가 $\ell$과 서로 다른 두 점에서 만난다. $\Gamma$와 $\ell$의 두 교점 중 $R$에 더 가까운 점을 $A$라 하자. 직선 $AJ$가 $\Omega$와 점 $K$에서 다시 만난다. 직선 $KT$가 $\Gamma$에 접함을 보여라.

정수 $N\ge 2$이 주어져 있다. $N(N+1)$명의 축구선수들이 한 줄로 서 있고, 이들 중 어느 두 사람도 키가 서로 같지 않다. 알렉스 경은 이 선수들 중 $N(N-1)$명을 빼내, $2N$명의 선수들을 남기되, 남아 있는 선수들이 다음과 같은 $N$개의 조건을 만족하도록 한다.

(1) 가장 키가 큰 두 선수 사이에는 아무도 없다.

(2) 세번째로 키가 큰 선수와 네번째로 키가 큰 선수 사이에는 아무도 없다.

$\vdots$

($N$) 가장 키가 작은 두 선수 사이에는 아무도 없다.

이렇게 하는 것이 항상 가능함을 보여라.

정수 $x$, $y$의 최대공약수가 1일 때, 순서쌍 $(x,y)$를 원천점이라 하자. 유한개의 원천점들의 집합 $S$에 대하여, 다음 조건을 만족하는 양의 정수 $n$과 정수 $a_0$, $a_1$, $\ldots$, $a_n$이 존재함을 보여라.

모든 $(x,y)\in S$에 대하여 등식 \[a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_n y^n=1\]이 성립한다.

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