2014년 2월 11일 화요일. 4시간동안 5문제. 출처

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삼각형 $ABC$의 외심을 $O$라 하자. 변 $BC$의 중점을 지나고 $\angle BAC$의 이등분선에 수직한 직선을 $l$이라 하자. $l$이 선분 $AO$의 중점을 지날 때, $\angle BAC$의 크기를 구하여라.

$2^a+3^b+1=6^c$를 만족하는 양의 정수해 $(a,b,c)$를 모두 구하여라.

$n$을 양의 정수라 하자. 어떤 2명의 학생도 서로 친구이거나 친구가 아니거나 둘 중의 하나인 학교에서, 다음 조건을 만족시키는 양의 정수 $a,b$의 합의 최솟값을 $N$이라 하자.
(1) 같은 팀 안의 어떤 2명도 서로 친구가 되도록, 학생들을 $a$개의 팀으로 나눌 수 있다.
(2) 같은 팀 안의 어떤 2명도 서로 친구가 아니도록, 학생들을 $b$개의 팀으로 나눌 수 있다.
학생의 수가 $n$인 학교에 대해서 $N$의 최댓값을 구하여라. 단, 학생을 팀으로 나눌 때, 어떤 학생도 정확히 한 개의 팀에 소속되도록 한다.

삼각형 $ABC$의 외접원을 $\Gamma$라 하고, 점 $A$에서의 $\Gamma$의 접선을 $l$이라 하자. $D,E$는 각각 변 $AB,AC$ 위의 $A,B,C$가 아닌 점들로, $BD:DA=AE:EC$를 만족시킨다고 한다. 직선 $DE$와 원 $\Gamma$의 두 교점을 $F,G$라 하고, 점 $D$를 지나고 $AC$와 평행한 직선과 $l$의 교점을 $H$, 점 $E$를 지나고 $AB$와 평행한 직선과 $l$의 교점을 $I$라 하자. 이 때, 4개의 점 $F,G,H,I$는 같은 원 위에 있으며, 그 원은 직선 $BC$에 접함을 보여라. 단, $XY$는 선분 $XY$의 길이를 뜻한다.

부등식 \[\frac{a}{1+9bc+k(b-c)^2}+\frac{b}{1+9ca+k(c-a)^2}+\frac{c}{1+9ab+k(a-b)^2}\geq\frac{1}{2}\]이 $a+b+c=1$을 만족시키는 임의의 $a,b,c \geq 0$에 대해 성립하게 하는 $k$의 최댓값을 구하여라.