다음 성질을 만족하는 양의 정수의 단조 증가 수열이 존재함을 보여라.
(1) 어떤 수 $K$가 있어서 $a_n\lt 1.01^n K$이 모든 양의 정수 $n$에 대해 성립한다.
(2) 수열 $\{a_n\}$의 유한개의 항을 어떻게 합하여도 완전제곱수가 아니다.
(2013년 3월 18일, 출처, 4시간 30분)

다음 성질을 만족하는 양의 정수 $m$ 중 가장 큰 것을 찾아라.
양의 정수가 모두 정확히 한번씩 나타나는 임의의 양의 정수의 수열 $a_1,a_2,a_3,\ldots$에는 항상 길이가 $m$이고 공차가 홀수인 등차수열을 이루는 부분수열 $a_{i_1}, a_{i_2},\ldots,a_{i_m}$ ($i_1\lt i_2\lt \cdots \lt i_m$)이 존재한다.
(2013년 3월 19일, 출처, 4시간 30분)