원 $O$에 내접하는 사각형 $ABCD$에 대하여, $\angle ABD$와 $\angle ADB$의 외각의 이등분선이 만나는 점을 $P$, $\angle DAB$와 $\angle DBA$의 외각의 이등분선이 만나는 점을 $Q$, $\angle ACD$와 $\angle ADC$의 외각의 이등분선이 만나는 점을 $R$, $\angle DAC$와 $\angle DCA$의 외각의 이등분선이 만나는 점을 $S$라고 할 때, $P$, $Q$, $R$, $S$는 모두 같은 원 위에 있음을 증명하라.
(2000년 4월 15일, 출처4시간 30분)