두 변 $AD$와 $BC$가 평행인 사다리꼴 $ABCD$에 대하여, 선분 $AB$, $BC$, $CD$, $DA$를 지름으로 하는 원을 각각 $O_1$, $O_2$, $O_3$, $O_4$라 하자. 이들 네 개의 원들에 모두 외접하고, 그 중심이 사다리꼴 $ABCD$의 내부에 있는 원 $O$가 존재할 필요충분조건은 사각형 $ABCD$가 평행사변형임을 보여라.
(2005년 4월 9일, 4시간 30분, 3문제, 출처)