정5각형의 꼭지점에 총 합이 2011이 되도록 정수 5개를 적고 다음과 같은 시행을 반복하는 게임을 한다.

어떤 정수 $m$을 이웃한 두 꼭지점에서 각각 빼서 맞은편 꼭지점에 $2m$을 더한다.

몇번 시행한 후 어떤 꼭지점만 2011이 되고 다른 4개의 꼭지점이 0이 되면 그 꼭지점이 게임을 이긴다고 하자. 이때, 처음 주어진 정수들에 대해, 이 게임은 정확히 하나의 꼭지점만 이길 수 있음을 증명하라.