양의 실수 $a$, $b$, $c$가 $a^2 + b^2 + c^2 + (a + b + c)^2 \le 4$를 만족한다고 하자. 이때 다음 부등식을 증명하라. \[ \frac{ab + 1}{(a + b)^2} + \frac{bc + 1}{(b + c)^2} + \frac{ca + 1}{(c + a)^2} \ge 3.\]