$4$로 나눈 나머지가 $3$인 소수 $p$에 대하여 \[ T=\{(i,j) | i,j\in \{0,1,\ldots,p-1\}\}-\{(0,0)\}\]이라 하자. $T$의 임의의 부분집합 $S$ ($\ne \emptyset$)에 대하여, $S$의 부분집합 중 다음 조건을 모두 만족하는 집합 $A$가 존재함을 보여라.

(1) $(x_i,y_i)\in A$ ($1\le i\le 3$)이면 $x_1+x_2-y_3$과 $y_1+y_2+x_3$ 중 적어도 하나는 $p$의 배수가 아니다.
(2) $8n(A)>n(S)$   (단, $n(X)$는 집합 $X$의 원소의 개수이다.)

(2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분)