양의 정수 $n$에 대하여 $f(n)$을 \[f(n)=\min_{m\in \mathbb{Z}} \left\lvert \sqrt2-\frac{m}{n}\right\rvert\]로 정의하자. (여기서 $\mathbb{Z}$는 정수 전체의 집합이다.) 단조증가하는 양의 정수의 수열 $\{n_i\}$와 어떤 상수 $C$가 있어서 모든 $i=1,2,3\ldots$에 대해 \[f(n_i)<\frac{C}{n_i^2}\]을 만족시킨다고 하자. 이때 모든 $i=1,2,\ldots$에 대하여 $n_i\ge q^{i-1}$이 되게 하는 실수 $q>1$가 존재함을 증명하라.
(2013년 3월 13일, 출처, 4시간 30분)