$1$보다 큰 양의 정수 $n$과 음 아닌 실수 $a_0,a_1,\ldots,a_n$이 있다. 정수 $k=0,1,\ldots,n$에 대해 $S_k=\sum_{i=1}^k \binom{k}{i} a_i$라 할 때 다음 부등식을 증명하라.
\[ \frac1n \sum_{k=0}^{n-1} S_k^2 -\frac1{n^2}\left( \sum_{k=0}^n S_k\right)^2 \le \frac4{45} (S_n-S_0)^2.\]
(2013년 3월 19일, 출처, 4시간 30분)