(1) $i=1, 2, 3, \cdots $ 에 대하여 $P_i = \{x \,|\, \frac{i(i-1)}2 <x\le \frac{i(i+1)}2, x$는 자연수$\}$ 이라 할 때, $i\ne j$이면 $P_i \cap P_j=\phi$(공집합)임을 밝혀라.
(2) $N$은 자연수의 집합 $\{1, 2, 3, \cdots \}$ 이라 한다. $N\times N$에서 정의되고 $N$의 값을 가지는 함수 $f$가 \[f(m, n) =\frac 12 (m+n-2)(m+n-1)+m\]로 정의 되어 있다.
$f(m, n)=f(p, q)$이면, $m=p, \quad n=q$임을 밝혀라.