자연수 $k$에 대하여 $d(k)$를 $k$의 양의 약수의 개수라고 할 때, 임의의 자연수 $n$에 대하여 \[d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=\Big[\frac n1\Big]+\Big[\frac n2\Big]+\cdots +
\Big[\frac nn\Big]\]임올 증명하여라. 단. $[x]$는 $x$를 넘지 않은 최대의 정수이다.