1991년 4월 20일-21일. 매일 4시간 30분씩 3문제.

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수열 $\{a_n\}$의 각항은 서로 다른 자연수라 한다. \[S_n = \frac 1{1+a_1} + \frac a{(1+a_1)(1+a_2)}+\cdots +\frac{a_1 a_2 \cdots a_{n-1}}{(1+a_1)(1+a_2) \cdots (1+a_n)}\]이라 할 때 \[\frac{1990}{1991} < S_n < 1\]을 만족시키는 최소의 $n$과 이에 대한 수열 $\{a_n\}$을 구하여라.

$n$은 4이상의 자연수이고, 자연수 전체의 집합 $N$의 부분집합 $H$ 가 다음 조건을 만족시키고 있다.
(1) $H$는 덧셈에 대하여 닫혀 있다.
(2) $N-H$는 $n$개의 원소를 갖고 있다.
(3) $H$의 최소 원소는 3이다.
이 때, 3과 서로 소이면서 $n$이하인 자연수는 $H$의 원소가 될 수 없음을 증명하여라.

서로 다른 네 개의 실수 중에는 \[0\lt \frac{(a-b)}{1+ab}\lt\sqrt 3\]을 만족시키는 두 개의 실수 $a, b$가 반드시 존재함을 증명하여라.

$x$는 실수이고 $f(x)=\max (0, 1-|x|)$에 대하여 $g(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty 2^k f(x-2k)$ 라 한다. $a_n =\max\limits_{-n\le x\le n} g(x)$ 라 할 때 \[\frac 14 \lt \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{-n} a_n}{1+a_n} \lt \frac 54\]임을 증명하여라.

자연수 $k$에 대하여 $d(k)$를 $k$의 양의 약수의 개수라고 할 때, 임의의 자연수 $n$에 대하여 \[d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=\Big[\frac n1\Big]+\Big[\frac n2\Big]+\cdots +
\Big[\frac nn\Big]\]임올 증명하여라. 단. $[x]$는 $x$를 넘지 않은 최대의 정수이다.

삼각형 $ABC$의 수심을 $H$, 무게 중심을 $G$, 외접원의 반지름을 $R$, 세 변의 길이를 $a, b, c$라 할 때 다음에 답하여라.
(1) $\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{BG}\cdot\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{CG}\cdot\overrightarrow{CH}=\frac 13 (a^2+b^2+c^2)$임을 증명하여라.
(2) $\overline{GH}^2$을 $R$과 $a, b, c$로 나타내어라.