양의 정수 $q$가 주어져 있다. 정수들의 임의의 유한 집합 $A$에 대해 \[ \lvert A+qA\rvert \ge (q+1)\lvert A\rvert -C_q\]가 성립하게 하는 정수 $C_q$가 존재함을 증명하라.
(단, $A+qA$란 어떤 $a,a’\in A$가 있어서 $a+qa’$꼴로 쓸 수 있는 모든 정수의 집합이다.)