집합 $\{1,2,\ldots,n\}$의 공집합 아닌 부분집합의 모음 $P$가 아래 두 조건을 만족한다.
(i) $S,S’\in P$이면 $S\cup S’\in P$이고 $S\cap S’\in P$이다.
(ii) $S\in P$이고 $S\neq \emptyset$이면 $T\in P$이면서 $S$의 원소의 개수보다 하나 적은 개수의 원소를 갖는 $S$의 부분집합 $T$가 존재한다.
함수 $f:P\to \mathbb R$이 $f(\emptyset)=0$이고 모든 $S,S’\in P$에 대해 \[ f(S\cup S’)=f(S)+f(S’)-f(S\cap S’)\]을 만족한다고 하자. 이때 \[ f(S)=\sum_{i=1}^S f_i\]이 모든 집합 $S\in P$에 대해 참이 되게 하는 실수 $f_1,f_2,\ldots,f_n$이 존재하는가?