양의 정수 $n$에 대해 집합 $\{1,2,\ldots,n\}$의 부분집합을 $A$라 하자. 이때 $A$에 속한 ‘부분’ $a_1,a_2,\ldots,a_k$의 합 $n=a_1+a_2+\cdots+a_k$으로 나타내는 방법을 $n$을 $k$개로 ‘$A$-분할’한 것이라 하자. 어떤 $A$-분할의 서로 다른 ‘부분’의 수란 집합 $\{a_1,a_2,\ldots,a_k\}$의 (서로 다른) 원소의 수를 뜻한다.

어떤 $k$에 대해 $n$을 $r$ ($\lt k$)개로 나눈 $A$-분할이 존재하지 않으면서 $n$을 $k$개로 나눈 $A$-분할이 존재하면 이 $A$-분할은 ‘최적’이라 부르자. 이때, 임의의 최적인 $n$의 $A$-분할의 서로 다른 부분의 수는 $\sqrt[3]{6n}$ 이하임을 증명하라.