양의 정수로 이루어진 무한수열 \( a_0 \lt a_1 \lt a_2 \lt \cdots \)에 대하여, 다음의 부등식을 만족하는 유일한 정수 \(n\)이 존재함을 증명하여라:
\[ a_n \lt \frac{a_0+a_1+\cdots+a_n}{n}\le a_{n+1}.\]