$n = 1, 2, 3, \dotsc$ 에 대해 $a_n = \dfrac{n^2+1}{\sqrt{n^4+4}}$ 이고, $b_n = a_1a_2 \cdots a_n$ 이다. $b_n = \dfrac{\sqrt{2(n^2+1)}}{\sqrt{n^2+2n+2}}$ 임을 보이고, 이로부터 $\dfrac1{(n+1)^3} < \dfrac{b_n}{\sqrt2} - \dfrac n{n+1} < \dfrac1{n^3}$ 임을 보여라.