$n^2$명의 학생으로 구성된 어떤 학급이 있다. 이 학급에서는 매주마다 한번씩 모든 학생들이 참가하는 퀴즈대회가 열린다. 담임선생님은 학생들을 $n$명씩 $n$개팀으로 편성하는데, 어느 한 주에 같은 팀에 있었던 어떤 두 학생도 다른 주에 다시 같은 팀에 속하지 않는 방식으로 가능한한 오랜 기간이 되도록 편성하려고 한다. 이 기간이 $n+2$주보다 짧음을 증명하여라.