(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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$n^2$명의 학생으로 구성된 어떤 학급이 있다. 이 학급에서는 매주마다 한번씩 모든 학생들이 참가하는 퀴즈대회가 열린다. 담임선생님은 학생들을 $n$명씩 $n$개팀으로 편성하는데, 어느 한 주에 같은 팀에 있었던 어떤 두 학생도 다른 주에 다시 같은 팀에 속하지 않는 방식으로 가능한한 오랜 기간이 되도록 편성하려고 한다. 이 기간이 $n+2$주보다 짧음을 증명하여라.

$a$는 정수이다. 방정식\[ x^2 + axy + y^2 = 1\]이 무한히 많은 서로 다른 정수해 $(x,y)$를 갖도록 하는 $a$를 모두 구하고 그것을 증명하여라.

$A$, $X$, $D$는 이 순서대로 한 직선 위에 있는 점들이다. 같은 평면 위의 점 $B$가 $\angle ABX > 120^\circ$ 를 만족하고 $B$, $C$, $X$도 이 순서대로 한 직선 위에 있다. 다음 부등식을 증명하여라.\[ 2|AD| \geq \sqrt3 (|AB| + |BC| + |CD|)\]

다음과 같이 수직선 위에서 혼자 하는 놀이가 있다: 이 놀이에서는 수직선의 어떤 정수점에 원판들이 쌓이게 된다. 두 장 이상의 원판이 쌓인 점 $j$를 하나 택하고, 거기서 이웃한 점 $j-1$과 $j+1$로 한 장씩 옮겨쌓는 움직임만이 허용된다. 처음에는 원점에만 $2n+1$개의 원판이 있었다.
이 놀이는 $\frac16n(n+1)(2n+1)$번의 움직임이면 어떻게 했어도 항상 더 이상의 움직임이 불가능하여 놀이가 끝나게 됨을 증명하여라. 그리고, 놀이가 끝났을 때는 항상 $-n$부터 $n$까지의 모든 점에 원판이 하나씩 있게 됨을 보여라.

모든 실수 $x$, $y$에 대해 다음 조건을 만족하는 함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 를 모두 구하여라. \[ xf(x) – yf(y) = (x-y) f(x+y)\]

모든 자연수 $n$에 대해 다음을 증명하여라.\[ n^n \leq (n!)^2 \leq \left(\frac{(n+1)(n+2)}6\right)^n\]

복소수 계수의 방정식 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ 의 모든 복소근이 절대값이 1이면, 방정식 $x^3 + |a|x^2 + |b|x + |c| = 0$ 의 모든 복소근도 마찬가지로 절대값이 1임을 증명하여라.

$S = \{\,(x,y) \mid 0 \leq x, y \leq 1\,\}$ 이라 하자. $0 < t < 1$ 인 실수 $t$ 각각에 대해, 점 $(t,0)$과 $(0,1-t)$ 를 잇는 선분과 그 선분보다 위쪽에 있는 $S$의 점들을 모은 집합을 $C_t$라 하자. 모든 $C_t$에 공통으로 포함되는 점은 곡선 $\sqrt x + \sqrt y = 1$ 과 그보다 위쪽에 있는 $S$의 점들임을 증명하여라.

평면 위에 삼각형 $ABC$가 있고, $P$가 $BC$의 중점, $Q$는 $CA$ 위의 $CQ/QA = 2$ 를 만족하는 점, $R$은 $AB$ 위의 $AR/RB=2$ 를 만족하는 점이다. 이 삼각형 $ABC$가 지워지고 세 점 $P$, $Q$, $R$만 남아있을 때, 원래의 삼각형 $ABC$를 다시 작도하는 방법을 설명하여라.

서로 다른 네 소수의 곱으로 임의의 자연수 $n$에 대해, $1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_{15} < d_{16} = n$ 을 $n$의 약수들이라 하자. $n < 1995$ 이면 $d_9 - d_8 \neq 22$ 임을 증명하여라.