$p$는 3 이상의 소수, $n$은 자연수, $T=\{1, 2, 3, \ldots, n\}$ 이라 하자. 만약, 다음을 만족하는 $T$의 공집합이 아닌 부분집합 $T_1, T_2, \dotsc, T_p$ 들이 존재할 때, $n$을 $p$-분할가능하다고 하자.
(i) $T = T_1\cup T_2 \cup \cdots \cup T_p$
(ii) 임의의 서로 다른 $i$, $j$ ($1 \leq i, j \leq p$) 에 대해 $T_i \cap T_j = \emptyset$
(iii) $T_i$의 원소들의 합은 $i$에 상관없이 모두 같다($i=1, 2, \ldots, p)$.
[예를 들어 5는 3-분할가능하다. $T_1 = \{1, 4\}$, $T_2 = \{2, 3\}$, $T_3 = \{5\}$ 로 잡아주면 조건을 만족한다.]
이 때 다음을 증명하여라.
(1) $n$이 $p$-분할가능하면 $p$는 $n$ 또는 $n+1$을 나눈다.
(2) $n$이 $2p$의 배수이면 $n$은 $p$-분할가능하다.