정삼각형 $ABC$의 변 $BC$ 위에 두 점 $A_1$, $A_2$를, 변 $CA$ 위에 두 점 $B_1$, $B_2$를, 변 $AB$ 위에 두 점 $C_1$, $C_2$를 잡아, $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$가 각 변이 길이가 모두 같은 볼록육각형이 되도록 하였다. 세 직선 $A_1B_2$, $B_1C_2$, $C_1A_2$가 한 점에서 만남을 증명하여라.