(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)

멕시코 메리다

한국대표팀: 5위

• 단장: 김명환 (서울대)
• 부단장: 송용진 (인하대), 김도한 (서울대), 이준복 (연세대), 오병권 (세종대)
• 대표학생: 강형준 (서울과고3, 은메달), 강환 (오륜중3, 은메달), 남주강 (경기과고1, 금메달), 박두성 (경기과고2, 금메달), 정영헌 (서울과고2, 은메달), 정원호 (서울과고2,금메달)

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정삼각형 $ABC$의 변 $BC$ 위에 두 점 $A_1$, $A_2$를, 변 $CA$ 위에 두 점 $B_1$, $B_2$를, 변 $AB$ 위에 두 점 $C_1$, $C_2$를 잡아, $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$가 각 변이 길이가 모두 같은 볼록육각형이 되도록 하였다. 세 직선 $A_1B_2$, $B_1C_2$, $C_1A_2$가 한 점에서 만남을 증명하여라.

정수들의 수열 $a_1, a_2, \ldots$ 에는 양수인 항과 음수인 항이 각각 무한히 많이 있다. 모든 자연수 $n$에 대하여, $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 을 $n$으로 나눈 나머지는 항상 모두 다르다고 한다. 그럼 이 수열 $a_1, a_2, \ldots$ 에는 모든 정수가 정확히 한 번씩 나타남을 증명하여라.

$x$, $y$, $z$는 $xyz \geq 1$ 을 만족하는 세 양의 실수이다. 다음 부등식을 증명하여라.\[\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} + \frac{y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2} + \frac{z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} \geq 0\]

$n \geq 1$ 에 대해 $a_n = 2^n + 3^n + 6^n – 1$ 로 정의된 무한수열의 모든 항과 서로소가 되는 자연수를 모두 구하여라.

$BC = DA$ 이고 $BC$가 $DA$와 평행하지는 않은 사각형 $ABCD$가 주어져 있다. 두 점 $E$와 $F$는 $BE = DF$ 를 성립하도록 하면서 각각 변 $BC$와 $DA$ 위를 움직인다. 두 직선 $AC$와 $BD$의 교점을 $P$, $BD$와 $EF$의 교점을 $Q$, $EF$와 $AC$의 교점을 $R$이라 하자. $E$와 $F$가 움직임에 따라, 삼각형 $PQR$의 외접원이 항상 지나는 점이 $P$ 외에 하나 더 있음을 증명하여라.

어떤 수학 경시대회에서 참가자들에게 6문제가 출제되었다. 이 중 두 문제를 어떻게 골라도 그 두 문제를 모두 푼 참가자가 전체의 $\frac 25$를 넘는다고 한다. 또한, 6문제를 모두 푼 참가자는 아무도 없었다. 정확히 5문제를 푼 참가자가 최소한 2명 있음을 보여라.