$S$는 다음을 만족하는 모든 삼각형 $ABC$들의 집합이다.\[ 5 \left( \frac1{AP} + \frac1{BQ} + \frac1{CR} \right) – \frac3{\min\{ AP, BQ, CR \}} = \frac6r\] 단, $r$은 내접원의 반지름이고 $P$, $Q$, $R$은 내접원이 각각 변 $AB$, $BC$, $CA$에 접하는 점이다. $S$의 삼각형은 모두 서로 닮은 이등변삼각형임을 증명하여라.