8개의 상자 각각에 공 6개씩 들어있다. 각각의 공은 $n$가지 색 중 하나이다. 같은 상자에 있는 공은 모두 서로 색이 다르고, 어떤 두 상자에서도 같은 색의 공은 최대 한 쌍만 있다. 이것이 가능한 $n$의 최소값을 구하고, 그것을 증명하여라.