사각형 $ABCD$에 원 $\omega$가 내접하고 있다. 원 $\omega$의 중심을 $I$라 하자. \[ (AI + DI)^2 + (BI + CI)^2 = (AB + CD)^2\]이 성립할 때, $ABCD$는 등변사다리꼴임을 증명하여라.