양의 정수 $m$에 대해, $m$의 모든 자릿수의 합을 $s(m)$으로 나타내자. $n \geq 2$ 에 대해, $f(n)$을 다음을 만족하는 최소의 $k$를 나타내는 것으로 하자:

적당한 $n$개의 양의 정수들의 집합 $S$가 존재하여, 공집합이 아닌 임의의 부분집합 $X \subset S$ 에 대해 $ s\left( \sum_{x \in X} x \right) = k$ 이다.

다음을 만족하는 상수 $0 < C_1 < C_2$ 가 존재함을 증명하여라.\[ C_1 \log_{10} n \leq f(n) \leq C_1 \log_{10} n.\]