한 원에 외접하고 모든 내각과 외각의 크기가 $60^\circ$ 이상인 사각형 $ABCD$가 있다. 이때 다음 부등식을 증명하고 등호가 성립할 조건을 밝혀라. \[ \frac13 \lvert AB^3 – AD^3\rvert \leq \lvert BC^3 – CD^3\rvert \leq 3 \lvert AB^3 – AD^3\rvert.\]