첫날 3문제, 둘째날 3문제로 매일 4시간 반동안 문제를 푼다.

(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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합성수인 양의 정수 $n$에 대해, $n$의 1보다 큰 모든 약수들을 한 원의 둘레 위에 늘어놓는데, 이웃한 두 수끼리 서로 소가 되는 경우가 없도록 하려고 한다. 이것이 가능한 $n$을 모두 구하여라.

다음 연립방정식에 정수해 $x$, $y$, $z$가 존재하지 않음을 증명하여라. \begin{align*} x^6 + x^3 + x^3y + y &= 147^{157} \\ x^3 + x^3y + y^2 + y + z^9 &= 157^{147} \end{align*}

예각삼각형 $ABC$의 변 $BC$ 위에 두 점 $P$와 $Q$가 있다. 다음 조건을 만족하도록 점 $C_1$을 작도하자: $APBC_1$은 원에 내접하는 볼록사각형이고, 직선 $QC_1$이 직선 $CA$와 평행하며, $C_1$과 $Q$는 직선 $AB$에 대해 서로 반대쪽 영역에 있다.
또 다음 조건을 만족하도록 점 $B_1$을 작도하자: $APCB_1$은 원에 내접하는 사각형이고, 직선 $QB_1$이 직선 $BA$와 평행하며 $B_1$과 $Q$는 직선 $AC$에 대해 서로 반대쪽 영역에 있다.
이때, $B_1$, $C_1$, $P$, $Q$을 모두 지나는 원이 존재함을 증명하라.

정사각형꼴의 탁자의 네 개의 다리 $L_1$, $L_2$, $L_3$, $L_4$는 모두 높이가 $n$이다. $n$은 양의 정수이다. 각각의 $L_i$에서 $k_i$의 길이만큼 잘라내었을 때($i = 1, 2, 3, 4$), 탁자가 안정적으로 놓이는 음이 아닌 정수들의 순서쌍 $(k_1,k_2,k_3,k_4)$는 모두 몇 개나 되는가? 단, 탁자가 안정적이라는 의미는 네 개의 다리가 모두 동시에 땅에 닿도록 탁자를 놓을 수 있다는 뜻이다. 그리고, 탁자의 다리의 길이는 0이 될 수도 있는 것으로 한다.

$n$은 1보다 큰 정수이다. 평면 위에 $2n$개의 점이 주어져 있고, 이 중에 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않다. 이 $2n$개의 점 중 $n$개의 점을 파랑으로, 나머지 $n$개의 점을 빨강으로 칠했다. 파란 점 하나와 빨간 점 하나를 지나는 이 평면 위의 직선 중에서, 이 직선에 의해 나뉜 한 영역이(그래서 반대쪽 영역도) 같은 수의 파란 점과 빨간 점을 갖고 있을 때, 이 직선을 균형 직선이라 부르기로 하자. 균형 직선은 항상 2개 이상 있음을 증명하여라.

양의 정수 $m$에 대해, $m$의 모든 자릿수의 합을 $s(m)$으로 나타내자. $n \geq 2$ 에 대해, $f(n)$을 다음을 만족하는 최소의 $k$를 나타내는 것으로 하자:

적당한 $n$개의 양의 정수들의 집합 $S$가 존재하여, 공집합이 아닌 임의의 부분집합 $X \subset S$ 에 대해 $ s\left( \sum_{x \in X} x \right) = k$ 이다.

다음을 만족하는 상수 $0 < C_1 < C_2$ 가 존재함을 증명하여라.\[ C_1 \log_{10} n \leq f(n) \leq C_1 \log_{10} n.\]