예각삼각형 $ABC$의 내접원과 외접원을 각각 $\omega$, $S$라 하고, 외접원의 반지름을 $R$이라 하자. $S$와 $A$에서 내접하고 $\omega$에 외접하는 원을 $\omega_A$라 하자. 또, $S$와 $A$에서 내접하고 $\omega$가 내접하는 원을 $S_A$라 하자. 원 $\omega_A$와 $S_A$의 중심을 각각 $P_A$와 $Q_A$라 하자. 점 $P_B$, $Q_B$, $P_C$, $Q_C$도 비슷하게 정의한다. 다음을 증명하고, 등호가 성립할 조건은 $ABC$가 정삼각형일 때임을 보여라.\[ 8 P_A Q_A \cdot P_B Q_B \cdot P_C Q_C \leq R^3.\]