첫날 3문제, 둘째날 3문제로 매일 4시간 반동안 문제를 푼다.
(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
loading...
양의 정수 $n$에 대해, $a_1 = n$이고, 각각의 $k \gt 1$ 에 대해 $a_k$는 $a_1 + a_2 + \cdots + a_k$ 가 $k$의 배수가 되는 $0 \leq a_k \leq k-1$ 범위의 유일한 정수로 정의하자. 예를 들어, $n=9$ 이면 수열은 $9, 1, 2, 0, 3, 3, 3, \dots$ 이 된다. 임의의 $n$에 대해 수열 $a_1, a_2, \ldots$는 항상 결국 상수가 됨을 증명하여라.
유클리드 평면이 격자선에 의해 정수 좌표의 꼭지점을 갖는 단위정사각형칸으로 분할되어있다. 서로 겹치지 않은 무한개의 원판으로 모든 격자점을 덮는데, 각 원판의 반지름이 모두 5 이상이 되도록 할 수 있는가?
양의 정수 $n$에 대해, $S$는 $n^2+n-1$개의 원소를 갖는 집합니다. $n$개의 원소를 갖는 $S$의 부분집합들을 두 그룹으로 나누었다. 그럼 어느 한 쪽 그룹에는 둘씩 서로 소인 $n$개의 부분집합이 있음을 증명하여라.
같은 크기의 $n$개의 칸을 연결하여 구성된 그림을 $n$칸 동물이라 부르자. 2007개 이상의 칸으로 구성된 동물을 공룡이라고 한다. 둘 이상의 공룡으로 분할시킬 수 없는 공룡을 원시적 공룡이라고 한다. 원시적 공룡은 최대 몇 개의 칸으로 구성될 수 있는가?
임의의 음 아닌 정수 $n$에 대해, $7^{7^n}+1$ 은 $2n+3$개 이상의 (서로 다를 필요는 없는) 소수들의 곱임을 증명하여라.
예각삼각형 $ABC$의 내접원과 외접원을 각각 $\omega$, $S$라 하고, 외접원의 반지름을 $R$이라 하자. $S$와 $A$에서 내접하고 $\omega$에 외접하는 원을 $\omega_A$라 하자. 또, $S$와 $A$에서 내접하고 $\omega$가 내접하는 원을 $S_A$라 하자. 원 $\omega_A$와 $S_A$의 중심을 각각 $P_A$와 $Q_A$라 하자. 점 $P_B$, $Q_B$, $P_C$, $Q_C$도 비슷하게 정의한다. 다음을 증명하고, 등호가 성립할 조건은 $ABC$가 정삼각형일 때임을 보여라.\[ 8 P_A Q_A \cdot P_B Q_B \cdot P_C Q_C \leq R^3.\]