실수 $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$, $\ldots$가 식 \[ f(n)=\frac1n \left( \lceil \frac{n}{1}\rceil +\lceil\frac{n}{2}\rceil+\cdots+\lceil \frac{n}{n}\rceil\right)\]으로 정의되어 있다고 하자. 단, $\lceil x\rceil$은 $x$보다 크지 않은 정수 중 가장 큰 값이라 하자.
(a) 무한히 많은 $n$에 대해 $f(n+1)\gt f(n)$임을 증명하라.
(b) 무한히 많은 $n$에 대해 $f(n+1)\lt f(n)$임을 증명하라.