삼각형 $ABC$의 외접원을 $\Omega$라 하고, 외심을 $O$라 하자. 점 $A$를 중심으로 하는 원 $\Gamma$가 선분 $BC$와 두 점 $D$, $E$에서 만난다. 이 때, $B$, $D$, $E$, $C$는 모두 서로 다르고 이 순서대로 선분 $BC$에 놓여있다. $F$와 $G$는 두 원 $\Gamma$와 $\Omega$의 교점이고, $A$, $F$, $B$, $C$, $G$는 $\Omega$ 위에 순서대로 놓여 있다. $K$는 삼각형 $BDF$의 외접원과 선분 $AB$의 교점 중 $B$가 아닌 점이다. $L$은 삼각형 $CGE$의 외접원과 선분 $CA$의 교점 중 $C$가 아닌 점이다. 직선 $FK$와 $GL$이 서로 다르고 점 $X$에서 만날 때, $X$는 직선 $AO$ 위에 있음을 보여라.