양의 정수 $n$에 대하여 크기가 $n\times n$인 실행렬 $M$이 $M^T M=I$를 만족하면 직교행렬이라고 하고, $PMP^{-1}$가 직교행렬이 되는 실가역행렬 $P$가 존재하면 $M$을 `닮은 직교행렬’이라 한다. (단, $M^T$는 $M$의 전치행렬, $I$는 단위행렬)
(i) 고유치가 모두 양수인 실대칭행렬 $S$에 대하여, $A^T SA=S$를 만족하는 행렬 $A$는 `닮은 직교행렬’임을 보여라.
(ii) 행렬 $A$, $B$에 대하여 $A$와 $\begin{pmatrix} A&0\\0&B\end{pmatrix}$가 모두 `닮은 직교행렬’이면 $B$도 `닮은 직교행렬’임을 보여라.