집합 $\{1,2,\ldots,n\}$의 순열 $\pi$ 중 모든 $\lvert i-j\rvert=1$에 대해 $\lvert \pi(i)-\pi(j)\rvert\le 2$가 되는 순열의 집합을 $P_n$이라 하자. 모든 $n\ge 2$에 대해 $P_{n+5}-P_{n+4}-P_{n+3}+P_n$값이 $n$에 상관없이 일정함을 보이고 그 값을 구하여라.