원 $O_1$이 삼각형 $ABC$의 변 $AC$, $BC$와 각각 점 $D$, $E$에서 접하고, 원 $O_1$을 포함하는 원 $O_2$가 변 $BC$, $AB$와 각각 점 $E$, $F$에서 접한다. 직선 $DE$와 원 $O_2$의 교점 $P$($\neq E$)에서의 원 $O_2$의 접선이 직선 $AB$와 만나는 점을 $Q$라 하자. 점 $O_1$을 지나고 직선 $BO_2$와 평행한 직선이 직선 $BC$와 만나는 점을 $G$, 직선 $EQ$와 $AC$의 교점을 $K$, 직선  $KG$와 $EF$의 교점을 $L$, 직선 $EO_2$와 원 $O_2$의 교점을 $N$($\neq E$), 직선 $LO_2$와 $FN$의 교점을 $M$이라 하자. 점 $N$이 선분 $FM$의 중점일 때, $\overline{BG}=2\overline{EG}$임을 보여라.