양의 정수 $m$, $n$에 대하여 크기가 $m\times n$인 실행렬 $A$가 주어져 있다.
(1) 행렬 $X=I_m+AA^T$와 $Y=I_n+A^TA$는 가역임을 보여라.
(2) $\operatorname{tr}(X^{-1})-\operatorname{tr}(Y^{-1})$의 값을 구하여라.
(단, $A^T$는 $A$의 전치행렬, 양의 정수 $\ell$에 대하여 $I_\ell$은 크기가 $\ell\times\ell$인 단위행렬)