두 실수 $a>0$, $0<\alpha<\pi$가 주어져 있다. 변 $BC$이 길이가 $a$이고 $\angle BAC=\alpha$인 삼각형 $ABC$의 외심을 $O$, 수심을 $H$라 하자. 반직선 $AO$ 위의 점 $P$를 직선 $AC$에 대칭시켜 얻은 점을 $S$라 하고, $P$를 직선 $AB$에 대칭시켜 얻은 점을 $T$라 하자. 만일 사각형 $SATH$가 원에 내접하면, 선분 $AP$의 길이는 오직 $a$와 $\alpha$로 결정됨을 증명하라.