임의로 주어진 양의 정수 $k$에 대하여, 아래 두 조건을 만족시키는 유리수 등차수열 \[ \frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \cdots, \frac{a_k}{b_k}\]가 존재함을 보여라.

(i) 각 $i=1,2,\ldots,k$에 대하여 $a_i$와 $b_i$는 서로 소인 양의 정수이고,
(ii) $a_1$, $b_1$, $a_2$, $b_2$, $\ldots$, $a_k$, $b_k$는 모두 서로 다르다.