양의 정수 $n$에 대하여, $x+y+2z+3w=n-1$을 만족하는 음이 아닌 정수의 순서쌍 $(x,y,z,w)$의 개수를 $p(n)$이라고 하고, 다음 세 조건을 모두 만족하는 음이 아닌 정수의 순서쌍 $(a,b,c,d)$의 개수를 $q(n)$이라 하자.
(i) $a+b+c+d=n$
(ii) $a \ge b$이고 $c \ge d$이며 $a \ge d$이다.
(iii) $b<c$

모든 $n$에 대하여 $p(n)=q(n)$임을 보여라.