실수의 수열 $\{ a_n \}$이 모든 양의 정수 $n$에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족한다고 하자.
(i) $0 < a_n < n^\alpha$
(ii) $a_1 + a_2 + \cdots + a_n < \sqrt{n}$

이때 $n>N$인 모든 $n$에 대하여 $\displaystyle a_1^{2018} + a_2^{2018}+ \cdots + a_n^{2018} < \frac{n}{2018}$이 성립하는 양의 정수 $N$이 반드시 존재하게 되는 양수 $\alpha$를 모두 구하여라.