2016 Vojtěch Jarník 국제수학경시대회 1분야 3번문제

어떤 $d\ge 3$에 대해 $A_1\cdots A_{d+1}$이 $\mathbb{R}^d$ 내의 단체(simplex)라 하자. (단체(simplex)란 하나의 초평면 위에 있지 않은 d+1개 점의 볼록포이다.) 모든 $i=1,\ldots,d+1$에 대해 면 $A_1\cdots A_{i-1}A_{i+1}\cdots A_{d+1}$의 외심을 $O_i$라 하자. 즉, $O_i$는 초평면 $A_1\cdots A_{i-1}A_{i+1}\cdots A_{d+1}$ 위에 있으며 점 $A_1$, $\ldots$, $A_{i-1}$, $A_{i+1}$, $\ldots$, $A_{d+1}$ 각각으로부터 같은 거리 떨어져있다. 각 $i$에 대해 $A_i$를 지나고 초평면 $O_1\cdots O_{i-1}O_{i+1}\cdots O_{d+1}$과 수직인 직선을 그리자. 이때 이 직선들이 모두 평행하거나 공통인 점을 지난다는 것을 보여라.

2016 Vojtěch Jarník 국제수학경시대회 2분야 3번문제

정수 $n\ge 3$에 대해 다음 $n\times n$ 행렬의 모든 고유치(eigenvalue)를 중복을 포함하여 찾아라. \[ \begin{pmatrix}1&0&1&0&0&0&\cdots&\cdots&0&0\\0&2&0&1&0&0&\cdots&\cdots&0&0\\1&0&2&0&1&0&\cdots&\cdots&0&0\\0&1&0&2&0&1&\cdots&\cdots&0&0\\0&0&1&0&2&0&\cdots&\cdots&0&0\\0&0&0&1&0&2&\cdots&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&&\vdots&\vdots\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&0&0&0&\cdots&\cdots&2&0\\0&0&0&0&0&0&\cdots&\cdots&0&1\end{pmatrix}\]