다음 정적분 $\int_0^\infty x^3 \pi^{-\sqrt[3]{x^8}}\,dx$의 값을 구하여라.
카테고리 보관물: 해석(대학)
2011 제30회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 5번문제
두 번 미분 가능한 함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$는 $f(0)=0$을 만족한다. 이 때, 다음 부등식이 성립함을 보여라. \[ \int_0^1 \lvert f'(x)\rvert^2\,dx\ge \frac14 \int_0^1 \frac{\lvert f(x)\rvert^2}{x^2}\,dx.\]
2011 제30회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 1번문제
함수 $f(x)=\frac1{x-x^{3/5}}$에 대하여, 다음 정적분 \[\int_{2^5}^{3^5}f(x)\,dx\]의 값을 구하여라.
2011 제30회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 3번문제
함수 $f(x)=e^{cos(x^2)}$에 대하여 $\frac{d^8 f}{dx^8} (0)$을 구하여라.
2011 제30회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 5번문제
함수 $f(x)$가 3차 다항식이라고 할 때, 다음을 증명하여라. \[\int_0^{2n}f(x)\, dx= \frac13( f(0)+4f(1)+2f(2)+4f(3)+2f(4)+\cdots+2f(2n-2)+4f(2n-1)+f(2n)).\]
2011 제30회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 7번문제
임의의 연속함수 $f:[0,1]\to[0,\infty)$에 대하여 $I(f)$를 다음과 같이 정의한다. \[ I(f):=\int_0^1 \left( x^2f(x)-(f(x))^3\right)dx.\] 이 때, $I(f)$가 가질 수 있는 가장 큰 값을 구하여라.