다음 미분방정식의 해 $u(t)$를 구하여라.\[ \begin{cases} u'(t)&=-u(t)+u(t)^2 e^t\qquad (t>0),\\ w(0)&=-1\end{cases}\]
카테고리 보관물: 해석(대학)
2017 제36회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 7번문제
수열 $\{a_n\}$은 모든 항이 양수인 감소하는 수열이고, $0<\theta<\frac\pi2$이다. 다음이 성립함을 보여라.\[ \left\lvert \sum_{n=1}^{2017} a_n\cos n\theta\right\rvert\le \frac{\pi a_1}{\theta}\]
2017 제36회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 8번문제
다음 극한값을 구하여라.\[ \lim_{n\to\infty} n\int_0^{\frac\pi2} (1-\sin x)^n \,dx\]
2017 Vojtěch Jarník 국제수학경시대회 1분야 4번문제
연속이며 미분가능한 함수 $f:(1,\infty)\to\mathbb R$이 $f(x)\le x^2\log (x)$이며 모든 $x\in(1,\infty)$에서 $f'(x)>0$임을 만족한다고 한다. 이때, \[ \int_1^\infty \frac1{f'(x)}\,dx=\infty\]임을 보여라.
2017 Vojtěch Jarník 국제수학경시대회 2분야 2번문제
다음 명제를 증명하거나 반증하라. 만일 $g:(0,1)\to (0,1)$이 증가함수이면서 모든 $x\in (0,1)$에 대하여 $g(x)>x$라면, 모든 $x\in (0,1)$에서 $f(x)<f(g(x))$이면서 증가함수가 아닌 연속함수 $f:(0,1)\to\mathbb R$이 존재한다.
2011 제30회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 1번문제
함수 $f(x)$가 다음과 같이 적분으로 정의되어 있다. \[ f(x)=\int_{\sin x}^{1+x} e^{t^2+2xt}\,dt.\] 이 때, $f'(0)$을 구하여라.