모든 정수의 집합을 $\mathbb Z$라 하자. 모든 정수 $a$, $b$에 대하여 다음 조건을 만족하는 함수 $f:\mathbb Z\to \mathbb Z$를 모두 구하여라. \[ f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).\]
카테고리 보관물: 문제
2019 국제수학올림피아드 2번문제
삼각형 $ABC$의 두 변 $BC$, $AC$ 위에 각각 점 $A_1$, $B_1$이 있다. 두 점 $P$, $Q$는 각각 선분 $AA_1$, $BB_1$ 위에 있고 $PQ$는 $AB$와 평행하다. 점 $P_1$은 직선 $PB_1$ 위에 있고 $B_1$은 $P$와 $P_1$ 사이에 있으며 ($B_1\neq P, P_1$), $\angle PP_1C=\angle BAC$이다. 이와 유사하게 점 $Q_1$은 직선 $QA_1$ 위에 있고 $A_1$은 $Q$와 $Q_1$ 사이에 있으며 ($A_1\neq Q, Q_1$), $\angle CQ_1Q=\angle CBA$이다. 이때, 네 점 $P$, $Q$, $P_1$, $Q_1$이 한 원 위에 있음을 보여라.
2019 국제수학올림피아드 3번문제
한 SNS망 안에 2019명의 이용자가 있고, 그들 사이에 어떤 친구관계가 존재한다. 이용자 A가 이용자 B와 친구관계이면, B도 A와 친구관계이다. 다음과 같은 이벤트가 반복적으로 시행된다고 하자.
세 명의 이용자 A, B, C에 대하여 A가 B, C와 친구관계이고 B와 C는 친구관계가 아닌 경우, 다음과 같이 친구관계를 바꾼다. B와 C는 친구관계가 되도록 하고, A와 B는 친구관계가 안 되고, A는 C와도 친구관계가 안 되도록 한다. 이때, 그 외의 친구관계는 바뀌지 않는다.
처음 단계에서, 1010명의 이용자 각각은 1009명의 이용자와 친구관게이고, 나머지 1009명의 이용자 각각은 1010명의 이용자와 친구관계라 하자. 위와 같은 이벤트를 계속 시행하여, 결국에는 모든 이용자들이 각각 한 명 이하의 이용자와 친구관계가 되도록 하는 일련의 이벤트가 존재함을 보여라.
2019 국제수학올림피아드 4번문제
다음 조건을 만족하는 양의 정수의 순서쌍 $(k,n)$을 모두 구하여라. \[ k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots (2^n-2^{n-1})\]
2019 국제수학올림피아드 5번문제
Bath은행은 한 면은 H, 반대면은 T인 동전을 발행한다. Harry는 $n$개의 동전을 왼쪽에서 오른쪽으로 일렬로 늘어놓았다. 그는 다음과 같은 시행을 반복적으로 한다: 만일 이 동전 중 H가 정확히 $k$($k>0$)개가 있으면 왼쪽부터 $k$번째 동전을 뒤집는다. 만일 모든 동전이 모두 T이면 시행을 멈춘다. 예를 들어, $n=3$이고 초기 놓임이 THT인 경우, 다음과 같이 3번의 시행을 한 후 멈춘다. THT$\to$HHT$\to$HTT$\to$TTT.
(a) 초기 놓임이 어떠하든, Harry는 유한 번의 뒤집는 시행을 한 후에 시행을 멈추게 됨을 보여라.
(b) 각 초기 놓임 $C$에 대하여, $L(C)$를 Harry가 시행을 멈추기 전까지 한 시행의 횟수라 하자. 예를 들어 $L(THT)=3$이고 $L(TTT)=0$이다. $2^n$개의 모든 가능한 초기 놓임 $C$에 대하여, $L(C)$의 평균값을 구하여라.
2019 국제수학올림피아드 6번문제
예각삼각형 $ABC$의 내심은 $I$이고 $AB\neq AC$이다. 삼각형 $ABC$의 내접원 $\omega$는 변 $BC$, $CA$, $AB$와 각각 $D$, $E$, $F$에서 접한다. 점 $D$를 지나고 $EF$에 수직인 직선이 $\omega$와 또 다시 만나는 점을 $R$이라 하자. 직선 $AR$이 $\omega$와 또 다시 만나는 점을 $P$라 하자. 삼각형 $PCE$의 외접원과 삼각형 $PBF$의 외접원이 만나는 점을 $Q$($Q\neq P$)라 할 때, 두 직선 $DI$와 $PQ$의 교점이 $A$를 지나고 $AI$와 수직인 직선 위에 있음을 보여라.