아래 그림과 같이 $9$개의 작은 원판 $A, B, \ldots, I$와 $11$개의 선분으로 이루어진 도형이 있다. 모든 원판에 실수를 하나씩 쓰고, 각 선분에는 선분의 양 끝 원판에 적힌 두 실수의 차의 제곱을 적는다. 원판 $A$에는 $0$, 원판 $I$에는 $1$을 쓰자. 이때 모든 선분에 적힌 수의 합이 될 수 있는 값 중 가장 작은 것을 구하여라.
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2018 제32회 한국수학올림피아드 고등부 8번문제
양의 정수 $a$, $c$에 대하여 $b$는 $ac-1$의 양의 약수이다. $1$보다 작은 양의 유리수 $r$에 대하여, 집합 $A(r)$을 다음과 같이 정의하자. \[A(r)=\{ m(r-ac)+nab \mid \text{ $m$, $n$은 정수} \}\] 이때 $A(r)$의 원소 중 가장 작은 양의 유리수가 $\dfrac{ab}{a+b}$ 이상이 되는 $r$을 모두 구하여라.
2018 제32회 한국수학올림피아드 중등부 1번문제
이차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족할 때, $\displaystyle \frac{ f(8)-f(2)}{f(2)-f(1)}$의 값을 구하여라.
서로 다른 두 실수 $a$, $b$에 대하여 $f(a)=f(b)$이면 $f(a^2 – 6b – 1)= f(b^2 + 8)$이다.
2018 제32회 한국수학올림피아드 중등부 2번문제
약수의 개수가 $4$ 이상인 양의 정수 $N$에 대하여, $N$의 약수 중 가장 작은 네 개를 각각 제곱하여 더한 값이 $N$과 같아지는 $N$을 모두 구하여라.
2018 제32회 한국수학올림피아드 중등부 3번문제
이등변삼각형이 아닌 삼각형 $ABC$의 변 $BC$의 중점을 $M$이라 하고, 변 $BC$의 수직이등분선이 삼각형 $ABC$의 외접원과 만나는 점을 $P$라 하자. 이때 $A$와 $P$는 변 $BC$에 대하여 같은 쪽에 있다. 삼각형 $ABM$과 $AMC$의 내심을 각각 $I$, $J$ 라 하고, $\angle BAC = \alpha$, $\angle ABC = \beta$, $\angle BCA = \gamma$라 할 때, $\angle IPJ$를 구하여라.
2018 제32회 한국수학올림피아드 중등부 4번문제
양의 정수 $n$에 대하여, $x+2y+2z+3w=n$을 만족하는 음이 아닌 정수의 순서쌍 $(x,y,z,w)$의 개수를 $p(n)$이라 하고, 다음 세 조건을 모두 만족하는 음이 아닌 정수의 순서쌍 $(a,b,c,d)$의 개수를 $q(n)$이라 하자.
(i) $a+b+c+d=n$
(ii) $a \ge b \ge d$
(iii) $a \ge c \ge d$
모든 $n$에 대하여 $p(n)=q(n)$임을 보여라.